基于分形理论的纹理特征提取及其在遥感图像分类中的应用研究文献综述
一、前言
分形理论自从被提出以来受到了广泛的应用和研究，分形维数的计算方法也被不断地提出和创新。本文对已有的分形维数估计方法及其在识别中的应用进行了回顾和总结，并在接下来的研究中提出一种新的算法用以提取图像的纹理特征并将其用于遥感图像的分类。
二、分形理论以及分形维数计算方法
20世纪60年代，法国数学家Mandelbrot[1]在计算海岸线的长度时提出了“分形（Fractal）”的理论。分形理论是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。Mandelbrot将分形定义为“一种由许多个与整体具有某种相似性的局部所构成的形体”，并用来描述自然界中传统欧式几何所不能描述的复杂无规则的几何对象。分形的基本特征可以概括如下：1.具有明显的不随观察尺度的减小而消失的不规则性；2.无法在局部和传统几何语言中描述其不规则性；3.其形态具有某种意义的整体与局部之间，局部与局部之间的自相似性；4.一个集合的分形维数大于其拓扑维数；5.可以通过迭代生成。Mandelbrot认为这其中的自相似性是分形的基本原则，而分形维数是定量表征自相似性的最佳工具。
分形维数用以反映图形的不规则程度，它的值越大就表明图形的不规则度越小。常见的维数包括相似性维数，盒维数以及豪斯多夫维数。关于分形维数的计算，其中比较常用的计算方法有：基于分形布朗运动模型的自相似计算方法，基于盒计数的方法，基于双毯的方法以及基于数学形态学的方法。
Mandelbrot首先在估算海岸线长度的时候描述了一种计算分形维数的方法。考虑所有到海岸线的距离不超过的点。这些点形成一条宽度为的带，理论上讲，用该带的面积除以就能得到海岸线的长度。当降低时，就会增加。Mandelbrot研究发现，对于许多海岸线，以下公式适用：
（1）
其中和是特定海岸线的常数。他称为该海岸线的分形维数。可以从和的重对数坐标图的最小二乘线性拟合得出。如果是拟合线的斜率，则曲线（海岸线）的分形维数为，始终为负。
分形体所固有的特性可以概括为自相似性和尺度不变性。在布朗运动中，粒子所经过的轨迹就是一个非常规范的分形体的例子，因此可以通过研究布朗运动的数学模型来估计分形体的维数。Pentland[2]将灰度图像构建为一个三维空间中的分形布朗运动曲面模型。同时，Pentland等人也指出了分形布朗函数的功率谱有频率之间存在着一定的指数关系，因此纹理图像的分形维数也可以从频域来估计。可以证明，分形布朗函数的傅立叶功率谱与成比例，其中，而为分形维数。根据和的重对数的最小二乘拟合，就可以估计图像强度表面的分形维数。由于小波变换在空间-频率分析上的独特优势，Super和Bovik使用Gabor变换改进了图像的分形维数估计方法；Wornell和Oppenheim又进一步推广了这种方法，提出了一种基于小波分解的分形维数估计算法。
在基于双毯的维数估计中，Peleg等人[3]根据图像在三维模型上对应的曲面的崎岖性，提出了一种基于双毯的灰度图像分形维数估计算法。Peleg等人将图像视为崎岖表面，其距地面的高度与图像灰度值成比例。然后，从两侧表面到距离的所有点都将形成厚度为的毯子。估计的表面积是毯子的体积除以。对于不同的，可以按以下方式迭代估计毯子的区域：覆盖的毯子由其上表面和下表面定义。分形维数可从分形表面的表面积和重对数坐标图的最小二乘线性拟合得出。所以，测量尺度的选择是一个很重要的问题，在后来的很多研究中也对此作了更加深入的讨论。
